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[去年在马里昂巴德]中的数学游戏

电影中文名

去年在马里昂巴德

2009-06-19 02:14

bluepis

bluepis

想看 - 评分8.1

 










年在马里昂巴德》中多次出现的小游戏:摆4排纸牌(火柴 牙签 棋子...随便什么) 各排的数量依次:7张 5张 3张 1张,两人轮流取牌,一次可以从任意一排中取任意张(不可以不取),取最后一张牌者负。

下面地址是一个与电影中玩法相同的模拟游戏,是取火柴的,有兴趣可以试试
http://www.archimedes-lab.org/game_nim/play_nim_game.html

这个游戏其实是nim游戏(拈)的一种

关于nim游戏

【Nim游戏是博弈论中最经典的模型(之一?),它又有着十分简单的规则和无比优美的结论
  
Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG)。满足以下条件的游戏是ICG(可能不太严谨):1、有两名选手;2、两名选手交替对游戏进行移动(move),每次一步,选手可以在(一般而言)有限的合法移动集合中任选一种进行移动;3、对于游戏的任何一种可能的局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身,不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素; 4、如果轮到某名选手移动,且这个局面的合法的移动集合为空(也就是说此时无法进行移动),则这名选手负。根据这个定义,很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3,因为红方只能移动红子,黑方只能移动黑子,合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。
  
通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。】——摘自百度百科


【在所有双人对局游戏中,拈是极其古老且饶富兴趣的一个课题。据说,拈源自中国,经由被贩卖到美洲的奴工们外传。辛苦的工人们,在工作闲暇之余,用石头玩游戏以排遣寂寞。流传到高级人士,则用辨士 (Pennils),在酒吧柜台上玩。

直到本世纪初,哈佛大学的数学教授Chales Leonard Bouton提出一篇极详尽的分析和证明,利用数的二进位表示法,在理论上解答了这个古老游戏的一般法则:对任意列数的铜板,每列有任意枚数,如何取得致胜之道。

在包顿的术语中,拿过后剩下的残局不是安全 (safe) 就是不安全 (unsafe) 的局面。在所有安全的情况下,不管对方如何拿总是到一不安全的情况,你可以再取适当枚数的铜板(在适当的某一列),达到另一安全的情况,这样一直到拿光铜板为止,当然最后一次拿光铜板的一定是你。反之,你如果留下不安全的情况,对方必有方法在适当的某一列,取走适当枚数的铜板,达到他的安全情况,也就是说你输定了。

包顿的方法很简单。首先,将各列铜板的枚数化成二进位数,相加,但不进位,然后再看和的各个位数。如果和的各个位数都是偶数,则表示一安全残局;否则,如果有一位是奇数,则为不安全残局。

例如“三、四、五”游戏,一开始就是不安全残局,先拿的人可以适当取二枚而造成他的安全残局。
【例1】



另一个不安全残局的例子如下:
【例2】



或者


为什么安全残局和不安全残局可以利用上述的方法判定呢?这个道理其实很简单。首先,如果将各列铜板数化为二进位表示法,相加,但不进位,得到的各个位数都是偶数的话,不论对方取那一列,多少枚铜板,则那一列铜板数所对应的二进位表示法中,必有某一位或数位由 0 变成 1 或者由 1 变成 0,其相加的和也相对的有某一位或数位由偶数变成奇数。例如,{1,4,5}这个安全残局,从第二列的 4 枚铜板取走 2 枚,则





相反的,如果和的某一位或数位是奇数,则我们有办法在某一列取走适当枚数的铜板,使得新的和的各个位数都是偶数。首先,选取和中所有为奇数的各个位数;例如在 {14,15,18,22} 的例子中和的第 1 和第 3 位是奇数。其次看这些位数中那一个是最左边一位;本例中当然是第 3 位。找某一列,使其二进位表示法在此位上刚好是 1;本例中,可以找第一例的14,也可以找第二列的15。然后将此列的铜板数所对应的二进位数中,凡是第 ai 位,都改变其数值,亦即若为 0 则变为 1,若为 1 则变为 0,如此得到一新数,我们只要在此列铜板取走适当的数目,使达到这新的枚数,即可以使新的和的各个位数都是偶数;例如,若考虑第一列的 14=1110 枚铜板,将其第 1 和第 3 位改变得到 1011=11 枚铜板,所以要在第一列取走 3 枚铜板。

相反规定,拿光铜板的人算输峙,只耍将上面的规律略加修饰,也可以控制局面。如果你一直拥有安全残局,对方一直处于不安全的情况,到某一时候,对方留下来的不安全残局一定会出现一种特殊型态,即是,除某一列铜板的枚数大于 1,其他各列均只有一枚铜板(拿光的各列不管它),这时候你的拿法要开始注意,你需将较多枚铜板这一列全部取光,或者拿到只剩下一枚,决定采取何者,完全看你拿了之后,要能使剩下的列数为奇数,当然每一列均只有一枚铜板。显而易见的是,以后一人都取一列,也是一枚,到最后拿的一定是对方,于是你就赢了。 】——摘自《拈及其各种变形游戏》张镇华

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